La estadística es una parte de las matemáticas usadas en cualquier análisis de datos para obtener medidas, como las de tendencia central y de dispersión, de datos discretos o distribuciones de probabilidad, para la toma de decisiones. Estos datos pueden ser de carácter social o empresarial, por lo que es un conocimiento de importancia para cualquier persona, porque finalmente todos manejamos y distribuimos nuestros bienes, ingresos y egresos.
En está página se mostratará los conceeptos básicos para cálculo de probabilidad, y toma de decisiones, según el resultado.
La probabilidad de que suceda un evento, en general, se calcula como un simple cociente, entre el número de elementos que representan el éxito del evento, y el número total de elementos.
Ejemplo:
Experimento: Se tiran dos dados
Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea mayor o igual a 10?
Evento A: La suma de ambos es mayor o igual a 10
Espacio muestral:
Probabilidad de A:
La probabilidad de un evento, en general se puede calcular con un cociente como el del ejemplo alnterior, sin embargo en ocaciones no es tan fácil contar los elementos del espacio muestral, y los del evento, por lo que existen técnicas de conteo, como la teoría de combinaciones y permutaciones, así como representaciones con árboles y conjuntos.
Combinaciones
El número de formas de elegir r elementos a partir de n elementos (sin importar el orden) se denota nCr, y se calcula con la siguiente fórmula:
Ejemplo
De un grupo de 15 estudiantes, ¿de cuantas formas se pueden elegir 5 representantes?
Permutaciones
El número de formas de ordenar r elementos a partir de n elementos se denota nPr, y se calcula con la siguiente fórmula:
Ejemplo
¿Cuantas palabras distintas de 5 letras se pueden hacer con las siguientes letras A, E, I, B, C, D, F?
Ejemplos de cálculo de probabilidad
En un concurso de TV, hay un panel con 20 opciones tapadas, 3 de ellos tienen 100,000 pesos, 10 tienen 20,000 pesos, 5 tienen 10,000 pesos, y 2 solo 1000 pesos. Cual es la probabilidad de que el participante gane 220,000 pesos si elige al azar 3 de las opciones?
En una fila de 6 sillas se sientan al azar seis jovenes, ¿cuál es la probabilidad de que tres amigos se sienten juntos?
Conjuntos
Otra de las herramientas importantes para el cálculo de probabilidad, es la teoría conjuntos, ya que en realidad un evento y un espacio muestral son conjuntos.
Propiedades
Ejemplo
Los estudiantes de la UTVT, tienen como optativas curso de Inglés y de francés, pudiendo cursar ambo. Si son 100 estudiantes, de los cuales 30 cursan francés, 50 cursan inglés y 60 cursan al menos uno de los cursos. Si se elige un estudiante al azar. a)¿Cuál es la probabilidad de que curse ambos cursos? b)¿Cuál es la probabilidad de que no curse ninguno de los dos?
Sean A= Cursa iglés
B = Cursa francés
Probabilidad condicional
En ocaciones la probabilidad de ocurrencia de un evento depende de la ocurrencia de otro, por ejemplo si una mamá está repartiendo un dulce o un chocolate al azar a muchos niños, la probabilidad de que al décimo niño le toque un chocolate, depende de lo que les tocó a los primeros nueve niños.
La probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ya ocurrió B, se denota y calcula:
Ejemplo
En el curso de programación avanzado, lo tomaron 5 estudiantes de mecatrónica, 10 de TIC y 5 de sistemas computacionales, al final del curso 2, 5 y 2 obtubieron más de 9 de calificación, respectivamente. Si se elige al azar un estudiante y resulta que obtuvo 9.5 de calificación, ¿Cuál es la probabilidad de que sea estudiante de TIC?
Probabilidad de eventos independientes
Cuando la probabilidad de que ocurra un evento no depende de la ocurrencia de otro, se llaman eventos independientes. En general se puede decir que:
Ejemplo
Un sistema de circuitos como el que se muestra en la figura 1, los componentes fallan de manera independiente (la probabilidad que funcionen está escrita en cada componente). ¿Cual es la probabilidad de que el sistema funcione?
Figura 1: Diagrama de circuito
solución
Teorema de Bayes
Ejemplo
Un banco que ofrece manejo de fondo de ahorro para el retiro (afore), capacita a sus promotores regurarmente. Se sabe que los promotores que asisten al curso, pueden cumplir con sus afiliaciones el 85% de la veces, mientras que los operadores nuevos, que no asisten al curso, solo cumplen el 55% de las veces. El 50% de los operadores nuevos asisten al curso. Dado que un nuevo operador cumple con sus afiliaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado el curso?
solución
Se define: A: Asistió al curso, B:Cumple su número de adiliaciones.
Los datos se pueden representar a través de un árbol
figura 2: Datos representados con un árbol
Debemos calcular P(A/B)
