Conocimientos en cálculo diferencial, en general, tiene aplicaciones para determinar máximos y mínimos de variables, que pueden representar velocidad, fuerza, costos, rendimientos, energía, etc. Por lo cual es valioso conocer la teoría que soporta la metodología y claro las aplicaciones. El cálculo integral en general se aplica en el cálculo de áreas bajo la curva de funciones contínuas o contínuas por partes, éstas áreas pueden representar no solo áreas, sino variables como velocidad, aceleración, etc. Las aplicaciones más interesantes se dan conjuntando los conocimientos de derivadas e integrales, que nos permite resolver ecuaciones diferenciales, que describen gran cantidad de fenómenos naturales, y sociales. En ésta página mostraremos las bases del cálculo diferencial e integral y aplicaiones relevantes.
Cálculo diferencial
El cálculo diferencial se desarrolló a partir del siglo XVII, de manera independiente al desarrollo del cálculo integral que apareció mucho antes. Inicio como respuesta a la necesidad de calcular pendientes de rectas tangentes a curvas, las cuales se pueden traducir a calcular rapidez, aceleración, u otras variables de interés.
La derivada de una función f(x) se define como:
Con teoría de límites y esta definición se pueden obtener muchas fórmulas de derivación, algunas de las más comunes se presentan en la siguiente lista:
Antes de aplicar en calculo diferencial, es necesario saber derivar diversas funciones, algunos ejemplos se presentan a continuación.
Usos de la derivada de una función
La derivada de una función evaluada en un punto p, gráficamente es la pendiente de la recta tangente de la función f(x) en x=p. La cual puede representar una variable física, por ejemplo, si la función describe la trayectoria de un cuerpo con respecto al tiempo, la derivada de la función , f ', describe la rapidez en cada momento, y si evaluamos en f ', 30min, el resultado es la rapidez del cuerpo para el tiempo de 30 min.
Si además de obtener la rapidez, deseamos obtener velocidad, es decir conocer la dirección, que es la misma que la dirección del impuso de un cuerpo, por ejemplo, para hacer cálculos en curvas de carreteras. Necesitamos conocer la ecuación de la recta tangente, para esto se necesita, la pendiente, y un punto de la recta, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Obtener la función de la recta tangente de la función f(x) en el punto x=-3, donde f(x) es:
Para encontrar la recta tangente en un punto en particular los pasos a seguir son:
1.- Se deriva la función
2.- Se evalúa en el punto de interés x=-3, con lo cual se encuentra la pendiente de la recta. f ' (-3)=29
3.- Con la pendiente y los puntos (x, f(x)) se obtiene la función de la recta. g(x)=29x+51
En la figura 1 se muestra la función f(x) y la función de la recta tangente g(x)
Fig. 1: La línea roja es la función f(x) y la verde es su recta tangente en x=-3
Si se agrega la teoría de máximos y mínimos se puede aplicar en la solución de muchos problemas, geométricos, de costos, rendimientos, diseño de materiales, etc.
Teorema:
Sea f(x) una función contínua y derivable en todos los reales y sea a un valor que cumple f '(a) = 0, entonces a es una punto crítico de f, es decir en este valor la función presenta un máximo, un mínimo, ó un punto silla. Para diferenciarlos se puede usar el criterio de la segunda derivada, que consiste en obtener la segunda derivada de f, es decir, f '' y evaluar en el punto crítico a, si f ''(a) < 0, se trata de un máximo, si f ''(a) > 0, se trata de un mínimo, y si f ''(a) = 0, se trata de un punto silla.
En la figura 2 se muestran puntos críticos. La línea roja presenta un punto silla en x = 0, y los puntos rojos son un mínimo y un máximo, que se presentan en valores de x cercanos a -3 y 3
Figura 2: Muestra puntos críticos para punto silla, mínimo y máximo
Ejemplo:
En la ciudad de México se hace un estudio del número de autos por minuto que pasan por cierta avenida de alta afluencia en el transcurso del día (de 5 a 13hrs), y requieren saber las horas pico para un óptimo uso de semáforos y avenidas alternas. Resulta que en comportamiento se puede ajustar con la función f(x).Obtenga las horas pico.
Figura 3: Número de autos por minuto con respecto al tiempo en horas.
Cuya derivada es:
En realidad el procedimiento para cálculo de máximos y mínimos es siempre similar, lo que hace un problema diferente es el planteamiento de la función que interesa y la solución de la o las ecuaciones que son tan diversas como las funciones que pueden intervenir, algebraicas, trascendentes, y más. Incluso hay ecuaciones que es mejor resolverlas con métodos numéricos.
Cálculo integral
Otra de las necesidades en el desarrollo de las matemáticas fue y es el cálculo de áreas, de figuras geométricas diversas, y de regiones delimitadas por funciones. Estas áreas pueden corresponder a alguna variable física como distancia, velocidad y más. Se pueden calcular con integrales definidas la cual se puede definir de la siguiente forma:
Integral indefinida
Si una función F(x) cumple F'(x) = f(x), para las x donde estén definidas ambas funciones, se dice que F(x) es la antiderivada de f(x), también se le llama primitiva ó integral indefinida, y se denota como sigue:
La función antiderivada no es única ya que si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x)+C, con C cualquier constante, también es una antiderivada, ya que como se sabe la derivada de una constante es cero, y por esta razón al resultado de una integral de este tipo siempre se le agrega +C.
De esta manera se pueden encontrar, y probar muchas fórmulas de integración como las que se muestran a continuación
Como una integral es en esencia una suma de áreas, tiene las propiedades de las sumas como las que se muestran también a continuación, así como algunas de las fórmulas más usadas de integrales.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
FORMULARIO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Para aplicaciones de integrales es indispensable conocer antes algunos métodos de integración, como por sustitución, por partes o por fracciones parciales, o incluso por métodos numéricos. Aunque existen software que resuelven varios tipos de integrales, nunca está demás saber como resolverlas analíticamente.
Si una función F(x) cumple F'(x) = f(x), para las x donde estén definidas ambas funciones, se dice que F(x) es la antiderivada de f(x), también se le llama primitiva ó integral indefinida, y se denota como sigue:
La función antiderivada no es única ya que si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces F(x)+C, con C cualquier constante, también es una antiderivada, ya que como se sabe la derivada de una constante es cero, y por esta razón al resultado de una integral de este tipo siempre se le agrega +C.
De esta manera se pueden encontrar, y probar muchas fórmulas de integración como las que se muestran a continuación
Como una integral es en esencia una suma de áreas, tiene las propiedades de las sumas como las que se muestran también a continuación, así como algunas de las fórmulas más usadas de integrales.
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
FORMULARIO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
Ejemplo de integrales por sustitución:
Para el caso de integrales definidas en un intervalo determinado, primero se resuelve la integral indefinida y después se evalúa en los límites de integración, tal como lo describe uno de los teoremas fundamentales del cálculo:
Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y existe la antiderivada de f(x), denotada como F(x), entonces:
Ejemplo:
Las integrales tienen aplicaciones diversas, pero sus usos se potencializan al incluir ambas teorías, cálculo diferencial e integral. Que ayudan a resolver ecuaciones diferenciales diversas como las ecuaciones de circuitos eléctricos.
